Question

函数题求解

已知函数f(x)=x+a/x，x∈（0，+∞），其中a>0
（1）点P（A，B）为函数f（x）上任意一点，过P向y轴和直线y=x作垂线，垂足分别为E F，求PE·PF值
（2）求证：f（x）在区间（0，√a】上是单调减函数：并写出f（x）在（0，+∞）上的最小值
（3）设g（x）=4x/k+1/x，在x∈【1,2】上的最小值为4，求实数k的值

Answer 1

（1）B=A+a/A
P（A，A+a/A）
E（0，A+a/A）
PF：方程y=-（x-A）+A+a/A，x=-（x-A）+A+a/A，2x=2A+a/A，x=A+a/2A；
y=x=A+a/2A，F（A+a/2A，A+a/2A）
是点积吗？
向量PE=（-A，0），
向量PF=（a/2A，-a/2A）
向量PE.PF=-a/2
（2）f'(x)=1-a/x²，

0<x≤√a
0<x²≤a
1/a≤1/x²＜+∞
1≤a/x²＜+∞，（a>0)
f‘（x）≤0，f(x)z（0，√a]上是减函数；
x≤√a，减函数，x>√a，f'(x)>0,增函数，x=√a，f（x）极小
f（√a）=√a+a/√a=2√a
是最小值。
（3）
g(x)=4x/k+1/x
g'(x)=4/k-1/x²，在[1,2]区间上：
g'(1)=4/k-1,g'(2)=4/k-1/4,g'(x)是增函数。
g(1)=4/k+1,g(2)=8/k+1/2
<1>,g'(1)≥0，4/k-1≥0,4/k≥1，k≤4，g增，g(1)=4/k+1=4,4/k=3,k=4/3,一解；
<2>g'(2)≤0，4/k-1/4≤0,4/k≤1/4,k<0,或者16≤k，k≥16；g(x)是减函数，g（2）=8/k+1/2=4,8/k=7/2,16=7k，k=16/7，无解；
<3>
g'(x)=0,4/k-1/x²=0,4/k=1/x²，x²=k/4，x=√k/2，
1≤√k/2≤2，2≤√k≤4，4≤k≤16，
g(√k/2）=2√k/k+2/√k=4/√k=4，k=1，无解。
唯一解k=4/3