Question

抛物线y=2x^2-4x+m的与x轴有两个不同的公共点A、B。设抛物线的顶点为C

（1）实数m的取值范围
（2）当m为何值时，三角形ABC为等边三角形
（3）过C作CD垂直于AB；做直线y=（根号2）x+1，设它与x轴、y轴交点为E、F。问三角形OEF与三角形DBC是否可能全等；是否可能相似。如有可能，求m的值；如果不可能，说明理由

Answer 1

（1）△=16-8m>0,m<2.（2）设A(x1,y1)B(x2,y2)令y=0即2x^2-4x+m=0,x1+x2=2,x1x2=m/2.则AB=x2-x1=√((x1+x2)^2-4x1x2)=√(4-2m).而C(1,m-2)那么由等边三角形性质得√3/2×AB=2-m，m=1/2或2(舍去).（3）由直线得EO=√2/2FO=1.BD=1/2√(4-2m)CD=2-m令BD/CD=√2/2或1/(√2/2)解得m=1或7/4。当m=1时两三角形全等。当m=7/4时两三角形相似。

Answer 2

解：将两方程联立，得x²-3x+a-1=0.⊿=13-4a＞0.===>a＜13/4.由x2＞x1≥0可知，a-1≥0.∴a≥1.数形结合可知S=(y1+y2)(x2-x1)/2=(x1+1+x2+1)(x2-x1)/2=(5/2)(x2-x1)=(5/2)√⊿=(5/2)√[9-4(a-1)]=(5/2)√(13-4a)≤（5√13)/2.∴当a=1时，Smax=(5√13)/2.