Question

有关高数的证明题

设函数 f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数，且对任意x>=0有 f(x)的二阶导数>=k，其中k>0为一常数，f（0）<0,证：f(x)在[0,∞)上有且仅有一个零点。

Answer 1

有难度，细看以下步骤：
x>=0， f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(s)x^2)/2 (Taylor公式)
（1）若 f ‘(0)>=0, 由f’‘(x)>0,所以，f '(x)> f ‘(0)>0,f(x)严格单增，
令f(0)+f'(0)x+(f''(s)x^2)/2 =0，由判别式可得：必存在x1=...>0, 使 f(x1)=0,
so it is easy to see f(x)在[0,∞)上有且仅有一个零点。
(2) 若 f ‘(0)<0,x->+无穷时， limf(x)=+无穷，所以，在x=0 的左邻域内，f(x)单减，所以f(x)在
x》0时，有极小值 f(x2)<f(0),f '(x2)=0, 显然可证 x2 唯一，且在[x2,+无穷），仿（1）分析即可

Answer 2

做f(x)在x=0处的泰勒展开
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(η)x²，η∈(0，x)
所以当x→+∞时，f(x)→+∞＞0，而f(0)＜0
由零值存在定理知，f(x)在[0,∞)上必有零点；
假设存在两个零点0＜x1＜x2使f(x1)=f(x2)=0
则在(0，x1)上存在α使f'(α)=[f(x1)-f(0)]/(x1-0)＞0
在(x1，x2)上存在β使f'(β)=0
又f''(x)＞0，即f'(x)要递增，f'(α)＜f'(β)
与上面结论矛盾