Question

已知函数f(x)等于2x次方加1分之2x次方减1,(1)求该函数的定义域和值域 (2)判断函

已知函数f(x)等于2x次方加1分之2x次方减1,(1)求该函数的定义域和值域 (2)判断函数的奇偶性,并加以证明。 注：请写出详细步骤

Answer 1

首先，f(x)=2x-1/2x+1 (理解为f(x)=2x-(1/2x)+1) 的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞)，显然 f(x) 在其定义域上可导。其导函数 f'(x)=2+1/(2x^2)，显然在上述定义域上恒大于0. 故 f(x) 在其定义域上是严格单调递增的。当 x→ -∞ 时，f(x)→ -∞，当 x→ 0(从小于0的方向趋于0)时，f(x)→ +∞，当x→ 0(从大于0的方向趋于0)时，f(x)→ -∞，当x→+∞ 时，f(x)→ +∞. 故知 f(x) 的值域是(-∞，+∞).
注：由f(x)的连续性及其严格单调递性，可得f(x)在(-1,-1/2) 以及(1/4,1/2)上各有一个使得f(x)=0 的两个根，且仅有两个根。

Answer 2

2^x定义域为R,值域为（0，+oo）所以fx的定义域为R,因为分母不为0。fx=2^x-1/2^x+1=2^x+1-2/2^x+1=-2/2^x+1+1且2^x+1值域为(1，+oo)可知-2/2^x+1的值域为(0，2)，从而fx值域为(-1，1)