Question

如图所示,AB为圆O的直径,AD与圆O相切于点A,DE与圆O相切于点E,BC切

如图所示,AB为圆O的直径,AD与圆O相切于点A,DE与圆O相切于点E,BC切圆O于点B交DE的延长线于点C
（1）求证：OC⊥OD
（2）若AB＝2√5，AD＝2，求线段BC和CD的长

Answer 1

1.证明：连结OC因为CE=CB，半径OE=OB，OC是公共边所以 △OEC ≌ △OBC (SSS)则∠OEC=∠OBC又DE与圆O相切于点E，即∠OEC=90°则∠OBC=90°所以BC是圆O的切线，且以点B为切点。2.这一小题可利用直角三角形勾股定理来求BC的长，利用相似三角形来求EG的长。不过过程比较兜转，你不妨试着去做做看，基本上要用到圆的切线的相关概念和性质。

2.过点D作DF⊥BC于点F，连OE、OC，
则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2倍的根号5．
∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，
∴DA=DE，CE=CB．
设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2．
在Rt△DFC中，
（x+2）^2-（x-2）^2=（2倍的根号5）^2，
解得x= 5/2．
∴BC= 5/2．

∵AD//BC
∴∠ADE=GCE,∠DAE=∠G
∴△ADE、GCE相似
∴AE/GE=DE/CE
∴AE/GE=2/ 5/2
既AE:GE=4:5
根据勾股定理
AG^2=AB^2+BG^2
∴AG=3倍的根号5
AE:GE=4:5
∴AE=4倍的根号5/3
GE=5倍的根号5/3

1.证明：连结OC因为CE=CB，半径OE=OB，OC是公共边所以 △OEC ≌ △OBC (SSS)则∠OEC=∠OBC又DE与圆O相切于点E，即∠OEC=90°则∠OBC=90°所以BC是圆O的切线，且以点B为切点。2.这一小题可利用直角三角形勾股定理来求BC的长，利用相似三角形来求EG的长。不过过程比较兜转，你不妨试着去做做看，基本上要用到圆的切线的相关概念和性质。

2.过点D作DF⊥BC于点F，连OE、OC，
则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2倍的根号5．
∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，
∴DA=DE，CE=CB．
设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2．
在Rt△DFC中，
（x+2）^2-（x-2）^2=（2倍的根号5）^2，
解得x= 5/2．
∴BC= 5/2．

∵AD//BC
∴∠ADE=GCE,∠DAE=∠G
∴△ADE、GCE相似
∴AE/GE=DE/CE
∴AE/GE=2/ 5/2
既AE:GE=4:5
根据勾股定理
AG^2=AB^2+BG^2
∴AG=3倍的根号5
AE:GE=4:5
∴AE=4倍的根号5/3
GE=5倍的根号5/3

1.证明：连结OC因为CE=CB，半径OE=OB，OC是公共边所以 △OEC ≌ △OBC (SSS)则∠OEC=∠OBC又DE与圆O相切于点E，即∠OEC=90°则∠OBC=90°所以BC是圆O的切线，且以点B为切点。2.这一小题可利用直角三角形勾股定理来求BC的长，利用相似三角形来求EG的长。不过过程比较兜转，你不妨试着去做做看，基本上要用到圆的切线的相关概念和性质。

2.过点D作DF⊥BC于点F，连OE、OC，
则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2倍的根号5．
∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，
∴DA=DE，CE=CB．
设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2．
在Rt△DFC中，
（x+2）^2-（x-2）^2=（2倍的根号5）^2，
解得x= 5/2．
∴BC= 5/2．

∵AD//BC
∴∠ADE=GCE,∠DAE=∠G
∴△ADE、GCE相似
∴AE/GE=DE/CE
∴AE/GE=2/ 5/2
既AE:GE=4:5
根据勾股定理
AG^2=AB^2+BG^2
∴AG=3倍的根号5
AE:GE=4:5
∴AE=4倍的根号5/3
GE=5倍的根号5/3

Answer 2

1. 证明：连结OC因为CE=CB，半径OE=OB，OC是公共边所以 △OEC ≌ △OBC  (SSS)则∠OEC=∠OBC又DE与圆O相切于点E，即∠OEC=90°则∠OBC=90°所以BC是圆O的切线，且以点B为切点。2.这一小题可利用直角三角形勾股定理来求BC的长，利用相似三角形来求EG的长。不过过程比较兜转，你不妨试着去做做看，基本上要用到圆的切线的相关概念和性质。

2. 过点D作DF⊥BC于点F，连OE、OC，
   则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2倍的根号5．
   ∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，
   ∴DA=DE，CE=CB．
   设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2．
   在Rt△DFC中，
   （x+2）^2-（x-2）^2=（2倍的根号5）^2，
   解得x= 5/2．
   ∴BC= 5/2．
   
   ∵AD//BC
   ∴∠ADE=GCE,∠DAE=∠G
   ∴△ADE、GCE相似
   ∴AE/GE=DE/CE
   ∴AE/GE=2/   5/2
   既AE:GE=4:5
   根据勾股定理
   AG^2=AB^2+BG^2
   ∴AG=3倍的根号5
   AE:GE=4:5
   ∴AE=4倍的根号5/3  
   GE=5倍的根号5/3