Question

已知函数f(x)=log以a为底(ax^2-x+1\2)对数在【1,2】上恒为正数,求实数a的取值范围

请写出完整的过程 谢谢！

Answer 1

解：
当a＞1时，
题意相当于g（x）=ax^2-x+1/2在【1,2】上恒大于1，（a＞0）
ax^2-x+1/2的对称轴为x=1/2a，
当0＜1/2a≤1，即a≥1/2时，要有g(1)=a-1/2＞1，a＞3/2；
当1＜1/2a＜2，即1/4＜a＜1/2，要有g(1/2a)=（2a-1）/4a＞1，不成立；
当1/2a≥2，即a≤1/4时，要有g（2）=4a-3.5＞1，不成立；
综上可得实数a＞3/2.
O(∩_∩)O~

Answer 2

令g(x)=ax^2-x+1/2
因为a>0,所以g(x)开口向上，对称轴为x=1/(2a)
1)若a>1, 则对称轴x<1/2, 因此f(x)在[1,2]上单调增，最小值为f(1)=loga(a-1/2)>0,得：a-1/2>1, 即a>3/2
2)若0<a<1,则g(x)的最大值为g(1)=a-1/2或g(2)=4a-3/2, 所以f(x)的最小值为f(1)或f(2),它们都恒为正数
故0<a-1/2<1且0<4a-3/2<1
得：1/2<a<3/2且 3/8<a<5/8
得：1/2<a<5/8

综合1），2）得a的取值范围：a>3/2或1/2<a<5/8