Question

如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．

（Ⅰ）求证：FG∥平面PDE；
（Ⅱ）求证：平面FGH与平面PBC缩成的二面角大小；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使FM与直线pa所成的角为六十度？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

⑴    ∵FG∥PE﹙中位线﹚    ∴FG∥PDAE

⑵ 取坐标系D﹙000﹚A﹙200﹚C﹙020﹚  P﹙200﹚

 FG∥PE＝﹛2，0，-1﹜,FH∥BC＝﹛-2，0，0﹚

平面FGH的法向量取 n1＝PE×BC＝﹛0,-2,0﹜   平面PBC的法向量取 n2＝﹛0，1，1﹜

cos＜n1,n2＞＝n1•n2/﹙|n1||n2|﹚＝-1/√2    ＜n1,n2＞＝135º   

∴平面FGH与平面PBC缩成的二面角＝45º

⑶ PA＝﹛2,0,-2﹜   可设M﹙0，x,2-x﹜  FM＝﹛-1，x-1,1-x﹜   [  注意F﹙1，1，1﹚]

﹤FM,PA﹥＝60º←→1/2＝FM•PA/﹙|FM||PA|﹚←→x＝√﹙10/3﹚   PM＝√2x＝√﹙20/3﹚