Question

已知(√x-3√x)^n 的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024

(1)求展开式的所有有理项(指数为整数
(2)求(1-x)^3+(1-x)^4+……+(1-x)^N展开式中x2项的系数.
（√x-³√x）^n

Answer 1

1、
展开式中，所有项的二项式系数之和为：
C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,k)+…+C(n,n)=2^n
在这里和为1024，
所以2^n=1024，即n=10

2、
注意
x[1+(1-x)+(1-x)^2+(1-x)^3+…+(1-x)^10]
=x *[1-(1-x)^11]/ (1-1+x)
=1-(1-x)^11
那么
x[1+(1-x)+(1-x)^2+(1-x)^3+…+(1-x)^10]
中的x³的系数就是C(11,3)=165
所以
1+(1-x)+(1-x)^2+(1-x)^3+…+(1-x)^10
中的x²的系数就是165
所以解得
(1-x)^3+(1-x)^4+……+(1-x)^10中x²的系数为164

追问

求展开式的所有有理项(指数为整数 ）

追答

不好意思写漏了……

求(√x-³√x)^10展开式的有理项，
展开每一项为C(10,a)* (√x)^a *(-³√x)^(10-a)

若为有理项，那么显然a为偶数，且10-a为3的倍数，
那么可以是a=10或4
所以有理项为：
x^5或 C(10,4)* (√x)^4 *(-³√x)^(10-4)
即x^5或210x^4