Question

在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从

在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒. （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；

为什么要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°？

Answer 1

解：（1）∵矩形OABC， ∴∠AOC=∠OAB=90°
∵OD平分∠AOC ∴∠AOD=∠DOQ=45°……………………………………1分
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45° ∴AO=AD=2， OD= ……2分
∴……………………………3分
（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.
解法1：如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，
∵∠POQ =45°，∴ ∠OPG =45° ∵OP=，∴OG=PG=t,
∴点P(t，,t)
又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得:
，，………4分
①若∠PQB=90°，则有,
即：，
整理得：，解得（舍去），
∴ ………6分
②若∠PBQ=90°，则有,
∴，
整理得，解得.
∴当t=2或或时，△PQB为直角三角形. .… 8分
解法2：①如图2，当∠PQB=90°时，
易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD ∴∠BQC=∠POQ=45°
可得QC=BC=2 ∴OQ=4 ∴2t=4 ∴t=2 ……………5分
②如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC上，
作PN⊥x轴于点N，交AB于点M，
则易证∠PBM=∠CBQ∴△PMB∽△QCB
∴，∴，∴， 化简得，
解得 ……… 6分∴ ………………… 7分
③如图4，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC的延长线上，
作PN⊥x轴于点N，交AB延长线于点M，
则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC ∴△PMB∽△QCB
∴，∴，
∴，化简得，
解得 ∴ ……………… 8分
（3）存在这样的t值，理由如下：将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形为平行四边形. ………………9分
∵PO=PQ ，由P（t,t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（）………………10分
∵点B坐标为（6,2）， ∴点的坐标为（3t-6,t-2）， .………………11分
代入，得： ，解得 ……12分
（另解：第二种情况也可以直接由下面方法求解：当点P与点D重合时，PB=4，OQ=4，又PB ∥OQ，∴四边形为平行四边形，此时绕PQ中点旋转180°，点B的对应点恰好落在O处，点即点O.由（1）知，此时t=2. （说明：解得此t值，可得2分.）

追问

我问的是为什么要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°？

Answer 2

可以通过分析知道，OP和OQ相等，PQ连线从O点向B点移动过程中，∠PQB经历了从钝角到锐角的过程，而∠PBQ经历了从锐角到钝角的过程，只有他们有可能等于90°

追问

什么意思？没看懂？