Question

线性代数题一道

设A=(aij)为一个n阶方阵，|A|=0，且A中的一个元素akl的代数余子式Akl不等于0，试证：（Ak1,Ak2,...,Akn)^T是齐次方程组AX=0的一个基础解系.

Answer 1

首先，已知代数余子式Akl不等于0，所以R(A)=n-1；
那么，解向量组的秩为： n-R(A)=1 。即基础解系只有 1 个向量；
计算AX,X=（Ak1,Ak2,...,Akn)^T，根据行列式性质，i（i！=k）行元素与X（第k行对应的代数余子式) 乘积为0，而第k行元素与X乘积为|A|也为0，所有有AX=0；
即（Ak1,Ak2,...,Akn)^T是AX=0的一个解，又因为解向量组秩为1，所以（Ak1,Ak2,...,Akn)^T就是AX=0的一个基础解系。
通解形式为：x= k*（Ak1,Ak2,...,Akn)^T