Question

函数f(x)=x*|x-1|+m.

（1）设函数g(x)=(2-m)x+3m,若方程f(x)=g(x)在(0,1]上有且只有一个实根,求实数m的取值范围
（2）当m＞1时，求函数y=f(x)在[0，m]上的最大值

Answer 1

(1)f(x)=g(x)在(0,1]上有且只有一个实根,这时f(x)=-x(x-1)+m，g(x)=(2-m)x+3m
f(x)=g(x)即g(x)-f(x)=0为u(x)=x^2+(1-m)x+4m=0
若x=1是方程的根，则m=-2/3，方程的另一根在(0，1]之外，
若方程仅有一根在(0，1)，则u(0)*u(1)<0，即
4m(1+1-m+4m)<0，∴-2/3<m<0
综上，若方程f(x)=g(x)在(0,1]上有且只有一个实根,则实数m的取值范围是-2/3≤m<0
（2）函数y=f(x)=-x^2+x+m ，① (当x<1) 或f(x)=x^2-x+m ，② (当x≥1)
①在x=1/2时有极大值y=m+1/4,
②在x≥1时递增，∴在区间[1,m],上，函数的最大值是y(m)=5m
综上函数y=f(x)在[0，m]上的最大值为y(m)=5m