Question

已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且角BAE=角CDE. 求证：AB=CD. 求详细步骤！

Answer 1

证明：（1）见下图1，作BF//CD，交DE延长线于F，在△CDE和△BFE中，因为∠C=∠EBF(内错角)，CE=BE，∠CED=∠BEF(对顶角)，所以△CDE≌△BFE，所以i.∠BFE=∠CDE(对应角)=∠BAE(已知)，则△BFA为等腰三角形；

ii.CD=BF(对应边)=AB(等腰三角形两腰相等）。

（2）见下图(2),作CG⊥DE于G，作BF//CG，交DE延长线于F，Rt△BEF和Rt△CEG中,    因为∠EBF=∠ECG(内错角),BE=CE,∠BEF=∠CEG(对顶角),Rt△BEF≌Rt△CEG;所以1.∠BFE=∠CGE(对应角)=π/2=∠CGD;    2.BF=CG(对应边)。

在Rt△ABF和Rt△DCG中, 因为∠BAF=∠CDG(已知)和上述条件1和2；Rt△ABF≌Rt△DCG(角角边)；所以AB=CD(对应边)。

(3)见下图(3),作CF//AB,交BE延长线于F，在△ABE和△FEC中，

因为∠B=∠ECF(内错角)，BE=CE,∠AEB=∠FEC,△ABF≌△DCG;

则1）AB=FC(对应边);    2）∠BAE=∠F(对应角)=∠D(已知)；因而△CDF是等腰三角形，所以，CF=CD(等腰三角形两腰相等)=AB(等量代换-1）)。证毕。

Answer 2

证明：
延长DE到点F，使EF=ED
连接BF
∵BE=CE，DF=EF，∠BEF=∠CED
∴△BEF≌△CED
∴CD=BF，∠CDE=∠F
∵∠CDE=∠BAE
∴∠BAE=∠F
∴BA =BF
∴AB=CD
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Answer 3

分别从B和C向DE作垂线，BF交于DE的延长线上的F，CG交于DE于G。
△BEF和△CEG中有：
BE=EC （E是BC的中点）
∠BEF=∠GEC （对顶角）
又BF⊥DE，CG⊥DE，
∴BF∥CG （两线垂于同一直线，这两线平行）
∴∠GCE=∠FBE （两线平行，内错角相等）
∴△BEF≌△GEC。（角，边，角）
∴GC=BF （全等△，对应边相等）
在△ABF和△DGC中有：
∠EDC=∠BAE（已知）
∠DGC=∠AFB=90°
∴∠DCG=∠ABF （第三个角也相等）
∴△ABF≌△DGC （角，边，角）
∴AB=CD （全等△，对应边相等）

Answer 4

证明：

希望能帮助你

Answer 5

延长AE到F，使EF=AE，连结CF
∵AE=FE，BE=CE，∠AEB=∠FEC
∴△AEB≌△FEC
∴AB=FC①，∠BAE=∠CFE
又∠BAE=∠CDE，∴∠CFE=∠CDE
∴CD=FC②（等角对等边）
由①②得AB=CD