Question

高分求数学大神解答！！！！求方程“(1+1/n)的(n+1)次方=(1+1/2006)的2006次方”的所有整数解。

求方程“(1+1/n)的(n+1)次方=(1+1/2006)的2006次方”的所有整数解。

Answer 1

若n为正数。
则（n+1）/n的(n+1)次方=2007/2006的2006次方。
则n+1的n+1次方：n的n+1次方=2007的2006次方：2006的2006次方。
显然矛盾！
若n为负数。
则-(（n-1）/n)的（-n+1）次方=2007/2006的2006次方。
则-（n/(n-1))的（n-1)次方=2007/2006的2006次方。
所以-n-1=2006
所以n=-2007

追问

这个像是抄的

不管了 说说则-(（n-1）/n)的（-n+1）次方=2007/2006的2006次方。
是怎么来的？

追答

这样吧。n为正数的话，可以理解吗？
如果n为负数，令n=-t（t>0）
就可以得到(1-1/t)^(1-t)=(t/(t-1))^(t-1)=t^(t-1)/(t-1)^(t-1)=(2007/2006)^2006,所以t-1=2006，t=2007，所以n=-2007

追问

t说下：假如t取一个0＜t＜2007的值，则t/t-1＜2007/2006 t-1＜2006所以t^(t-1)/(t-1)^(t-1)＜(2007/2006)^2006 如果t大于2007 t∈（2007，∞）
则t/t-1＞2007/2006 t-1＞2006所以t^(t-1)/(t-1)^(t-1)＞（2007/2006)^2006 所以都无法满足题设

明白了 谢谢O(∩_∩)O~~~~

追答

就是一眼看出来解的啊。。首先(1+1/n)^(1+n)我们可以证明它是递减的函数，所以这个方程只有一解。然后我们可以用柯西定理猜测解的区间，如果有计算器就可以算出区间了。你要解这个方程那我也解不出来，主要还是靠函数的增减性来判断吧

Answer 2

追问

怎么打开？ 说什么超过了最大下载次数

在不在？不在请删除答案。。