Question

数学椭圆

Answer 1

7.解：椭圆参数：a=√2，b=1，c=1；左焦点F₁(-1，0)；右焦点F₂(1，0)；
设过左焦点F₁且倾斜角为45度的直线方程为y=x+1；代入椭圆方程得x²+2(x+1)²-2=3x²+4x=0；
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；那么依维达定理，x₁+x₂=-4/3；x₁x₂=0；y₁+y₂=x₁+x₂+2=-4/3+2=2/3；
y₁y₂=(x₁+1)(x₂+1)=x₁x₂+(x₁+x₂)+1=-4/3+1=-1/3；故OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=-1/3.

8.解：设左焦点为F₁，右焦点为F₂；所得正六边形为AF₁BCF₂D；AD为六边形的上底边。F₁F₂=2c；
AF₁=c，那么正六边形的面积S=[(3/2)√3]c=24√3，故c=24×(2/3)=16，b=csin60º=16×(√3/2)=8√3；
a²=b²+c²=192+256=448；故椭圆方程为x²/448+y²/192=1.

9.解：e=c/a=(√2)/2；△ABF₂的周长=∣AF₁∣+∣AF₂∣+∣BF₁∣+∣BF₂∣=4a=16，故a=4；
c=2√2；b²=a²-c²=16-8=8；故椭圆方程为x²/16+y²/8=1.

10.解：在△F₁PF₂中，∣F₁F₂∣=2c；∣PF₁∣+∣PF₂∣=2a；在△F₁PF₂中使用余弦定理得：
4c²=PF₁²+PF₂²-2(PF₁×PF₂)cos60º=(PF₁+PF₂)²-3(PF₁×PF₂)=4a²-3(PF₁×PF₂)
由于(a-c)(a+c)=a²-c²≦PF₁×PF₂≦a²，故3(a²-c²)≦4a²-4c²≦3a²；即有3(1-e²)≦4-4e²≦3e²；
由3(1-e²)≦4-4e²得e²≦1；由4-4e²≦3e²得7e²≧4，即e²≧4/7；故√(4/7)≦e<1，这就是e的取值范围.