Question

已知O，T，P在△ABC所在平面内，向量OA+向量OB+向量OC=向量0，|向量TA|=|向量TB|=|向量TC|，

已知O，T，P在△ABC所在平面内，向量OA+向量OB+向量OC=向量0，|向量TA|=|向量TB|=|向量TC|，且向量PA·向量PB=向量PB·向量PC=向量PC·向量PA=，则点O,T,P依次是△ABC的（ ）
A 外心 重心 垂心
B 重心 外心 内心
C 重心 外心 垂心
D 外心 重心 内心

求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

解：以下向量符号省略、、、

①如下图所示：延长CO使OC'=CO并交AB于E，

 

∵OA+OB+OC=0，

∴OA+OB=-OC=OC'，

∴四边形ABC'O是平行四边形，

∴CE是△ABC中AB边上的中线，

同理可证O也AC、BC的中线上，故O为△ABC的重心；

②∵TA=TB=TC，
∴点T到三角形三个顶点的距离相等，
∴点T是三角形的外心；

③∵PA•PB=PB•PC，

∴(PA-PC)•PB=CA•PB=0，

∴AC⊥PB，

同理根据PA•PB=PC•PA、PB•PC=PC•PA可证BC⊥PA、AB⊥PC，

故P为△ABC的垂心；

故答案选---------C．