如图1,已知⊙O的半径长为3,点A是⊙O上一定点,点P为⊙O上不同于点A的动点.(1)当tanA=12时,求AP的
如图1,已知⊙O的半径长为3,点A是⊙O上一定点,点P为⊙O上不同于点A的动点.(1)当tanA=12时,求AP的长;(2)如果⊙Q过点P、O,且点Q在直线AP上(如图2...
如图1,已知⊙O的半径长为3,点A是⊙O上一定点,点P为⊙O上不同于点A的动点.(1)当tanA=12时,求AP的长;(2)如果⊙Q过点P、O,且点Q在直线AP上(如图2),设AP=x,QP=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;(3)在(2)的条件下,当tanA=43时(如图3),存在⊙M与⊙O相内切,同时与⊙Q相外切,且OM⊥OQ,试求⊙M的半径的长.
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(1)如图1,过点P作PB⊥OA交AO的延长线于B,连接OP,设PB=a,
∵tanA=
,
∴AB=2a,
∴OB=AB-OA=2a-3,
在Rt△POB中,PB2+OB2=OP2,
即a2+(2a-3)2=32,
解得a1=
,a2=0(舍去),
∴AB=2×
=
,
在Rt△ABP中,AP=
=
=
;
(2)连接OP、OQ,则AO=PO,PQ=OQ,
∴∠P=∠A,∠POQ=∠P,
∴∠P=∠POQ=∠A,
∴△AOP∽△PQO,
∴
=
,
即
=
,
整理得,y=
,
∵⊙O的半径为3,点P不同于点A,
∴3<x≤6;
∴y=
(3<x≤6);
(3)过点O作OC⊥AP于C,
∵tanA=
,
∴设OC=4b,AC=3b,
在Rt△AOC中,OC2+AC2=OA2,
即(4b)2+(3b)2=32,
解得b=
,
∴OC=4×
=
∵tanA=
1 |
2 |
∴AB=2a,
∴OB=AB-OA=2a-3,
在Rt△POB中,PB2+OB2=OP2,
即a2+(2a-3)2=32,
解得a1=
12 |
5 |
∴AB=2×
12 |
5 |
24 |
5 |
在Rt△ABP中,AP=
PB2+AB2 |
(
|
12
| ||
5 |
(2)连接OP、OQ,则AO=PO,PQ=OQ,
∴∠P=∠A,∠POQ=∠P,
∴∠P=∠POQ=∠A,
∴△AOP∽△PQO,
∴
QP |
OP |
OP |
AP |
即
y |
3 |
3 |
x |
整理得,y=
9 |
x |
∵⊙O的半径为3,点P不同于点A,
∴3<x≤6;
∴y=
9 |
x |
(3)过点O作OC⊥AP于C,
∵tanA=
4 |
3 |
∴设OC=4b,AC=3b,
在Rt△AOC中,OC2+AC2=OA2,
即(4b)2+(3b)2=32,
解得b=
3 |
5 |
∴OC=4×
3 |
5 |
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