Question

如图1，△ABC中，D、E、F分别为三边BC、BA、AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．（1）若∠A=70°，求∠EDF

如图1，△ABC中，D、E、F分别为三边BC、BA、AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．（1）若∠A=70°，求∠EDF的度数；（2）如图2，EM平分∠BED，FN平分∠CFD，当EM∥FN时，求∠A的度数．

Answer 1

（1）∵∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，
∴∠A+∠B+∠C=180°．
∵∠AED与∠BED是邻补角，∠AFD与∠CFD是邻补角，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，
∴∠AED=180°-∠DEB=180°-∠B=∠A+∠C，
∠AFD=180°-∠DFC=180°-∠C=∠A+∠B．
∵∠A+∠AED+∠AFD+∠EDF=3∠A+∠B+∠C+∠EDF=360°，
∴2∠A+∠EDF=180°．
∵∠A=70°
∴∠EDF=180°-2∠A=40°；
（2）如图：

作GD∥EM，交AC于G，
∵EM∥FN
∴EM∥GD∥FN
∴∠EDG=∠DEM=

1

2

∠BED=

1

2

∠B
∠FDG=∠DFN=

1

2

∠DFC=

1

2

∠C
∴∠EDF=∠EDG+∠FDG=

1

2

（∠B+∠C）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A．①
∵2∠A+∠EDF=180°②
将①代入②得
2∠A+90°-

1

2

∠A=180°，
解得∠A=60°．