Question

设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0．又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为13．试确

设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0．又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为13．试确定a、b、c，使此图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积V最小．

Answer 1

解答：解；∵抛物线y=ax²+bx+c过原点
∴c=0
又抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为

1

3

即：

∫

1 0

(ax2+bx)dx＝

1

3

∴

1

3

a+

1

2

b＝

1

3

∴b＝

2

3

(1?a)
∴图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积
V=π

∫

1 0

(ax2+bx)2dx＝π?[

a2

5

x5+

ab

2

x4+

b2

3

x3

]

1 0

=π[

a2

5

+

ab

2

+

b2

3

]=π[

2

135

a2+

1

27

a+

4

27

]
∴V′(a)＝π?(

4

135

a+

1

27

)
令V′（a）=0，得：a＝?

5

4

又V″(a)＝

4π

135

＞0
∴a＝?

5

4

是V(a)的唯一极小值点
∴a＝?

5

4

是V(a)的最小值点
此时，解得：b＝

3

2

∴a＝?

5

4

，b＝

3

2

，c＝0