Question

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形？（2）设△QCP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△QCP的面积有最小值？最小值是多少？（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△PBC相似．

Answer 1

（1）当△QAP为等腰三角形时，由于∠A为直角，只能是AQ=AP，
又∵AQ=6-t，AP=2t，
∴2t=6-t，
∴t=2．即当t=2时，△QAP为等腰三角形．


（2）依题意，得S=S_矩形ABCD-S_△QDC-S_△QAP-S_△PBC
整理，得S=t²-6t+36．
配方，得S=（t-3）²+27．
∴S与t之间的函数关系式为S=t²-6t+36．
当t=3时，S有最小值，最小值是27．

（3）AB=12，BC=6，
v_P=2，v_Q=1，
AP=v_Pt=2t
DQ=v_Qt=t
AQ=DA-DQ=6-t
BP=AB-AP=12-2t=2（6-t）
当△QAP∽△PBC时：
QA：PB=AP：BC
（6-t）：（12-2t）=2t：6
t=1.5
当△PAQ∽△PBC时：
PA：PB=AD：BC
2t：（12-2t）=（6-t）：6
（6-t）²=6t
t²-18t+36=0
（t-9）²=45
t=9±3

5

t=9+

5

＞6，舍去
∴t=9-3

5

综上：t=1.5，或t=9-3

5

．