Question

关于函数 f(x)=lg x 2 +1 |x| (x≠0) ，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②f（x）的最小

关于函数 f(x)=lg x 2 +1 |x| (x≠0) ，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②f（x）的最小值是lg2；③（-1，0）是f（x）的一个递增区间；④f（x）没有最大值．其中正确的是______（将正确的命题序号都填上）．

Answer 1

设t= x 2 +1 |x| =|x|+ 1 |x| ， 则|x|+ 1 |x| ≥2 |x|? 1 |x| =2，当且仅当|x|=1时，等号成立 ∴当x=±1时，t达到最小值2 对于①，由于f（-x）= lg (-x) 2 +1 |-x| = lg x 2 +1 |x| =f（x） ∴函数f（x）在其定义域上为偶函数，故其图象关于y轴对称，得①正确； 对于②，因为t= x 2 +1 |x| 的最小值为2，底数10是大于1的数 ∴f（x）=lgt的最小值是lg2，故②正确； 对于③，在（-∞，0）上，函数t= x 2 +1 |x| 在x=-1时有最小值 故在（-1，0）上t为关于x的增函数， 可得函数f（x）=lgt也是在（-1，0）上的增函数，得③正确； 对于④，由于t= x 2 +1 |x| 没有最大值， 可得函数f（x）=lgt也没有最大值，故④正确． 故答案为：①②③④