Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ） 当a＞0时，求函数f（x）在[1，2

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ） 当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．

Answer 1

（Ⅰ）函数的定义域是（0，+∞） ∵f（x）=lnx-ax ∴f′（x）= 1 x -a 当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域上是增函数； 当a＞0时，令导数为0解得x= 1 a ， 当x＞ 1 a 时，导数为负，函数在（ 1 a ，+∞）上是减函数， 当x＜ 1 a 时，导数为正，函数在（0， 1 a ）上是增函数 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知 当[1，2]?[ 1 a ，+∞）时，即a≥1时，函数函数f（x）在[1，2]上是减函数，故最小值为f（2）=ln2-2a 当[1，2]?（0， 1 a ]时，即0＜a＜ 1 2 时，函数函数f（x）在[1，2]上是增函数，故最小值为f（1）=-a 当 1 a ∈[1，2]时，函数f（x）在[1， 1 a ]上是增函数，在[ 1 a ，2]上是减函数，故最小值为min{f（1），f（2）}