Question

一正三棱锥A—BCD,其底面边长为a,侧棱长为2a,过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中.(1)

一正三棱锥A—BCD,其底面边长为a,侧棱长为2a,过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中.(1)求周长的最小值；(2)求最小周长时的截面面积.

Answer 1

(1)周长的最小值为 (2) S △ BMN =

如图甲所示，设截面与AC、AD的交点分别为M、N，将侧棱AB剪开后，将侧面展开铺平，当B′、M′、N′、B在一条直线上时，截面周长最短(如图乙). (1)在△B′C′M′和△A′M′N′中，∠B′M′C′=∠A′M′N′，由展开图可知∠A′M′N′=∠A′N′M′， ∴∠A′M′N′=∠A′C′D′=∠A′C′B′. 故有∠B′M′C′=∠M′C′B′， ∴B′M′=B′C′=a，同理N′B=a， 由△A′C′D′—△B′C′M′， ∴C′M′= ，∴A′M′= ， ∴ ，即 ， ∴M′N′= ，故B′B= ，即周长的最小值为 . (2)由展开的图可知周长最小时的截面△BMN为等腰三角形，且BM=BN=a，MN= ，∴MN上的高 ， ∴S △ BMN =