Question

一正三棱锥A—BCD,其底面边长为a,侧棱长为2a,过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中

一正三棱锥A—BCD,其底面边长为a,侧棱长为2a,过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中.(1)求周长的最小值；(2)求最小周长时的截面面积.(3)当这截面周长最小时，该正三棱锥被截面分得的两部分的体积比。

Answer 1

接楼上，设AE=AF=x
BE² = x²+(2a)² - 4axcosθ
x/2a = EF/a => EF = x/2
由2BE=BB'-EF
2√(x²+(2a)² - 7/2ax) = 11/4a - x/2
4(x²+(2a)² - 7/2ax) = (11/4a - x/2)²
化简得到 x² -3ax + (9/4)a² = 0
x=3/2a

因此BE=B'F=a,EF=3/4a
在△BEF的面积就是 3√55/64 a²