Question

已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a ，过BC作截面DBC垂直侧棱PA于D ，且此截面与底面成30°的二面角 ，

已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a ，过BC作截面DBC垂直侧棱PA于D ，且此截面与底面成30°的二面角 ，求此正三棱锥的侧面积 。

（ 无图 ）。

Answer 1

作PO⊥底面ABC于O．

　　∵P－ABC为正三棱锥，

　　∴O为底面正三角形ABC的中心连结AO交BC于M，连结PM，则

　　AM⊥BC，PM⊥BC，

　　∴BC⊥平面APM，BC⊥DM．

　　∵截面DBC与底面成30°二面角，

　　∴∠AMD＝3O°．

　　∵PA⊥平面DBC，

　　∴PA⊥DM，∠PAM＝60°

　　∵正三角形ABC的边长为a，

AO=根号3/3a，MO=根号3/6a

在RT三角形PAO中，PO=AO·tan60=根号3/a·根号3=a
在RT三角形POM中，PM=根号PO^2+OM^2=根号39/6a

S侧=1/2·3a·根号39/6a=根号39/4a^2