Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列 （2）求

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列 （2）求数列{nbn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由题意知，S_n+1=4a_n+2   ①
∴S_n=4a_n-1+2 （n≥2）②
①-②：a_n+1=4a_n-4a_n-1
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
令n=1得，s₂=4a₁+2=a₁+a₂，解得a₂=5，
数列{a_n-2a_n-1}是以3为首项，2为公比的等比数列，
∵b_n=a_n+1-2a_n，
∴数列{b_n}是等比数列，
（2）由（1）得，b_n=a_n+1-2a_n=3?2^n-1，
∴nb_n=3n?2^n-1
∴T_n=3[1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n?2^n-1]③
∴2T_n=3[1×2¹+2×2²+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ]④
③-④：-T_n=3[1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-n?2ⁿ]
=3×

1?2n

1?2

-3n?2ⁿ=（3-3n）?2ⁿ-3，
∴T_n=（3n-3）?2ⁿ+3．