Question

设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2 (1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数

Answer 1

n≥2时,Sn=4a(n－1)＋2,与S(n＋1)=4an＋2相减,得：a(n＋1)=4an－4a(n－1),即：a(n＋1)－2an=2[an－a(n－1)],则：bn=2b(n－1),其中n≥2.a1＋a2=S2=4a1＋2,则a2=3a1＋2=5,b1=a2－2a1=3.则{bn}是以3为首项、以q=2为公比的等比数列,得：bn=3×2^(n－1).即：a(n＋1)－2an=3×2^(n－1),两边除以2(n－1),得：[a(n＋1)]/[2^(n－1)]－[an]/[2^(n－2)]=3=常数,则数列{an/[2^(n－2)]}是以a1/[2^(1－2)]=2为首项、以d=3为公差的等差数列,则an/[2^(n－2)]=2＋3(n－1)=3n－1,所以,an=(3n－1)×2^(n－2).