Question

已知函数f(x)＝(a?12)x2+Inx(a∈R)（1）当a=0时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若?x∈[1，3]，使f（

已知函数f(x)＝(a?12)x2+Inx(a∈R)（1）当a=0时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）的图象在区间（1，+∞）内恒在直线y=2ax下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（1）当a=0时，f(x)＝?

1

2

x2+lnx，f′(x)＝?x+

1

x

＝

?x2+1

x

；
由f'（x）＞0，结合定义域解得0＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1）．
（2）将f（x）＜（x+1）lnx化简得(a?

1

2

)x2＜xlnx，∵x∈[1，3]∴有a＜

lnx

x

+

1

2

令g(x)＝

lnx

x

+

1

2

，则g/(x)＝

1?lnx

x2

，由g′（x）=0解得x=e．
当1≤x＜e时，g′（x）＞0；当e＜x≤3时，g′（x）＜0
故g(x)max＝g(e)＝

1

e

+

1

2

∴?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立等价于a＜g(x)max＝g(e)＝

1

e

+

1

2

即a的取值范围为(?∞，

1

e

+

1

2

)
（3）令g(x)＝f(x)?2ax＝(a?

1

2

)x2?2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)＝(2a?1)x?2a+

1

x

＝

(2a?1)x2?2ax+1

x

＝

(x?1)[(2a?1)x?1]

x

①若a＞

1

2

，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，x2＝

1

2a?1

，
当x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0，
此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤

1

2

，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)＝?a?

1

2

≤0?a≥?

1

2

，
由此求得a的范围是[?

1

2

，

1

2

]．
综合①②可知，当a∈[?

1

2

，

1

2

]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．