（2014?崇明县一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B
（2014?崇明县一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点...
（2014?崇明县一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值；（3）点P抛物线的对称轴上一点，当△PBD与△CAB相似时，求点P的坐标．
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解答：
解：（1）∵抛物线过点B（3，0），点C（0，3），
∴
，
解得
，
∴抛物线解析式为：y=x2-4x+3，
又∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点D的坐标是：D（2，-1）；
（2）∵抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A、B两点（点A在B点的左侧），
∴A（1，0），
又∵O（0，0），C（0，3），B（3，0），
∴BO=CO=3，
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=45°，BC=3
，
过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∴∠AHB=90°，
∵AB=2，∴AH=BH=
，
∴CH=BC-BH=2
，
∴tan∠ACB=
=
=
；
（3）设对称轴与x轴相交于点E，则AE=3-2=1，DE=|-1|=1，
∴AD=
=
，且∠ADE=45°，
在△ABC中，AB=3-1=2，
BC=
=
=3
，且∠ABC=45°，
设点P的坐标是（2，y），
∵△ADP与△ABC相似时，
∴①当AD与AB是对应边时，
=
，
即
=
，
解得DP=3，
y-（-1）=3，
解得y=2，
∴点P的坐标是（2，2）
②当AD与BC是对应边时，
=
，
即
=
解：（1）∵抛物线过点B（3，0），点C（0，3），∴
|
解得
|
∴抛物线解析式为：y=x2-4x+3，
又∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点D的坐标是：D（2，-1）；
（2）∵抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A、B两点（点A在B点的左侧），
∴A（1，0），
又∵O（0，0），C（0，3），B（3，0），
∴BO=CO=3，
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=45°，BC=3
| 2 |
过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∴∠AHB=90°，
∵AB=2，∴AH=BH=
| 2 |
∴CH=BC-BH=2
| 2 |
∴tan∠ACB=
| AH |
| CH |
| ||
2
|
| 1 |
| 2 |
（3）设对称轴与x轴相交于点E，则AE=3-2=1，DE=|-1|=1，
∴AD=
| DE2+AE2 |
| 2 |
在△ABC中，AB=3-1=2，
BC=
| OC2+OB2 |
| 32+32 |
| 2 |
设点P的坐标是（2，y），
∵△ADP与△ABC相似时，
∴①当AD与AB是对应边时，
| DP |
| BC |
| AD |
| AB |
即
| DP | ||
3
|
| ||
| 2 |
解得DP=3，
y-（-1）=3，
解得y=2，
∴点P的坐标是（2，2）
②当AD与BC是对应边时，
| DP |
| AB |
| AD |
| BC |
即
| DP |
| 2 |
| ||
| 3 |
