Question

（2013?嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+4ax+c（a≠0）经过A（0，4），B（-

（2013?嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+4ax+c（a≠0）经过A（0，4），B（-3，1），顶点为C．（1）求该抛物线的表达方式及点C的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线沿y轴向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线与y轴的交点记为点D．当△ACD时等腰三角形时，求点D的坐标；（3）若点P在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO，将线段PO绕点P逆时针转90°得到线段PO′，若点O′恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点P的坐标．

Answer 1

解答：解：（1）将A，B坐标分别代入抛物线解析式得：

c＝4 9a?12a+c＝1

，
解得：

c＝4 a＝1

，
∴抛物线解析式为y=x²+4x+4=（x+2）²，
∴顶点C坐标为（-2，0）；
（2）由题意得：D（0，m+4），
在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，
根据勾股定理得：AC=

OA2+OC2

=2

5

，
由图形得到∠DAC为钝角，要使△ACD为等腰三角形，只有DA=AC=2

5

，
∴DA=m=2

5

，
则D坐标为（0，2

5

+4）；
（3）设P（-2，n），如图所示，过O′作O′M⊥x轴，交x轴于点M，过P作PN⊥O′M，垂足为N，
易得PO=PO′，∠PCO=∠PNO′=90°，∠CPO=∠NPO′，
∴△PCO≌△PNO′（AAS），
∴O′N=OC=2，PN=PC=|n|，
∵四边形PCMN为矩形，
∴MN=PC=|n|，
①当n＞0时，O′（n-2，n+2），代入抛物线解析式得：n²-n-2=0，
解得：n=2或n=-1（舍去）；
②当n＜0时，O′（n-2，n+2），代入抛物线解析式得：n²-n-2=0，
解得：n=2（舍去）或n=-1，
综上①②得到n=2或-1，
则P的坐标为（-2，2），（-2，-1）．