(2014?湖州)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=-x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y

(2014?湖州)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=-x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在... (2014?湖州)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=-x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC=12AC,连接OA,OB,BD和AD.(1)若点A的坐标是(-4,4).①求b,c的值;②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由;(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?若存在,请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由. 展开
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静音双子_421
2014-11-20 · TA获得超过217个赞
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(1)①∵AC∥x轴,A点坐标为(-4,4).
∴点C的坐标是(0,4)
把A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c得,
4=?16?4b+c
4=c

解得
b=?4
c=4

②四边形AOBD是平行四边形;
理由如下:
由①得抛物线的解析式为y=-x2-4x+4,
∴顶点D的坐标为(-2,8),
过D点作DE⊥AB于点E,
则DE=OC=4,AE=2,
∵AC=4,
∴BC=
1
2
AC=2,
∴AE=BC.
∵AC∥x轴,
∴∠AED=∠BCO=90°,
∴△AED≌△BCO,
∴AD=BO.∠DAE=∠OBC,
∴AD∥BO,
∴四边形AOBD是平行四边形.

(2)存在,点A的坐标可以是(-2
2
,2)或(2
2
,2)
要使四边形AOBD是矩形;
则需∠AOB=∠BCO=90°,
∵∠ABO=∠OBC,
∴△ABO∽△OBC,
BC
OB
=
BO
AB

又∵AB=AC+BC=3BC,
∴OB=
3
BC,
∴在Rt△OBC中,根据勾股定理可得:OC=
2
BC,AC=
2
OC,
∵C点是抛物线与y轴交点,
∴OC=c,
∴A点坐标为(-
2
c,c),
∴顶点横坐标
b
2
=
2
2
c,b=
2
c,
∵将A点代入可得c=-(-
2
c)2+
2
c?
2
c+c,
∴横坐标为±
2
c,纵坐标为c即可,
令c=2,
∴A点坐标可以为(2
2
,2)或者(-2
2
,2).
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