Question

一道高中椭圆数学题，请帮我解答一下

已知椭圆C的方程为9x²＋4y²＝36，则与椭圆C有相同焦点且经过点（4，√5）
的椭圆有几个，写出符合条件椭圆的方程，请写出详细步骤，

Answer 1

应该只有一个，过程如下：
椭圆C的方程为x²/4＋y²/9＝1,
其焦点位于y轴上，坐标为（0，√5），（0，-√5）
设与椭圆C有相同焦点且经过点（4，√5）的椭圆方程为x²/a²＋y²/b²＝1(其中a小于b)
则满足：
b²-a²=5
16/a²+5/b²=1
得出b²=25，a²=20
椭圆方程为x²/20＋y²/25＝1
也可以简便一点来求：
点（4，√5）到两焦点的距离之和为4+6=10=2b,得出b=5,
由此可以确定椭圆方程，且只有一个

Answer 2

椭圆标准方程
x^2/4+y^2/9=1
c^2=5
故与已知椭圆共焦点的椭圆方程为
x^2/(5+t)+y^2/t=1 (t>0)
代入(4,√5)
16/(5+t)+5/t=1
16t+5t+25=t^2+5t
t^2-16t-25=0
有一正根，故能写出一个椭圆方程

Answer 3

只有一个。椭圆C化为标准型x^2/4+y^2/9=1.由此知a=3，b=2，c=√5，并且焦点在y轴上，焦点坐标为(0,√5)和(0,-√5)，点（4，√5）到两个焦点的距离和为4+6=10=2a'(椭圆的第二定义),所以a'=5又c‘=c=√5，所以，b'^2=a'^2-c'^2=20.所以椭圆方程为x^2/20+y^2/25=1.

Answer 4

非常不好意思，很久都没做高中数学了，都忘记了：P
建议你把椭圆、双曲线的几个定义总结一下，我记得似乎是都分别有4、5个吧。
把焦点在X和Y轴的图都画出来，借助图形记忆。比如在图上标出特征三角形，和PF1和PF2，a²/c和-a²/c等等。（只记得这些，其他的记得不清楚了，呵呵）
这样在遇到不同的题的时候比较能够理清楚思路。单就简单的椭圆和双曲线的题目来讲，熟悉掌握了这些应该就没问题了。抛物线也可以照此办理。
希望真正会这道题的人能帮你，呵呵。