Question

已知及是实数集，e是自然对数的底数，函数f（x）=1+In(x+1)x的定义域为{x|x＞0，x∈R}（I）解关于x的不等

已知及是实数集，e是自然对数的底数，函数f（x）=1+In(x+1)x的定义域为{x|x＞0，x∈R}（I）解关于x的不等式f（x2+1）＞2e?1：（II）若常数k是正整数，当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

（I）∵f（e-1）=

2

e?1

∴不等式f（x²+1）＞

2

e?1

可以化为f（x²+1）＞f（e-1）
∴f′(x)＝

1

x2

[

x

x+1

?1?ln(x+1)]=?

1

x2

[

1

x+1

+ln(x+1)]
∴当x＞0时，f^′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
∵f（x²+1）＞f（e-1），
∴x²+1＜e-1，
∴?

e?2

＜x＜

e?2

，
∴不等式的解集是{x|?

e?2

＜x＜

e?2

}
（II）∵当x＞0时，f（x）＞

k

x+1

恒成立，
令x=1，得k＜2（1+ln2）
∵k是整数，
∴k=3．
下面证明当k=3，x＞0时，f（x）＞

k

x+1

恒成立，
即当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x
则g^′（x）=ln（x+1）-1
当x＞e-1时，g^′（x）＞0，
当0＜x＜e-1时，g^′（x）＜0
∴当x=e-1时，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e＞0
∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，
∴正整数k的最大值是3．