Question

（2014?浦东新区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，sinB=45，点G是△ABC的重心，AG的延长线

（2014?浦东新区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，sinB=45，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q．（1）求AG的长；（2）当∠APQ=90°时，直线PG与边BC相交于点M．求AQMQ的值；（3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

Answer 1

（1）在△ABC中，
∵AB=AC，点G是△ABC的重心，
∴BD=DC=

1

2

BC，
∴AD⊥BC．
在Rt△ADB中，
∵sinB=

AD

AB

=

4

5

，
∴

BD

AB

=

3

5

．
∵BC-AB=3，
∴AB=15，BC=18．
∴AD=12．
∵G是△ABC的重心，
∴AG=

2

3

AD=8．
（2）在Rt△MDG，
∵∠GMD+∠MGD=90°，
同理：在Rt△MPB中，∠GMD+∠B=90°，
∴∠MGD=∠B．
∴sin∠MGD=sinB=

4

5

，
在Rt△MDG中，∵DG=

1

3

AD=4，
∴DM=

16

3

，
∴CM=CD-DM=

11

3

，
在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．
∵∠QCM=∠CDA+∠DAC=90°+∠DAC，
又∵∠QGA=∠APQ+∠BAD=90°+∠BAD，
∴∠QCM=∠QGA，
又∵∠CQM=∠GQA，
∴△QCM∽△QGA．
∴

AQ

MQ

=

AG

MC

=

24

11

．
（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF．
∵BE∥AD，∴

AP

BP

=

AG

BE

，即

15?x

x

=

8

BE

，
∴BE=

8x

15?x

．
同理可得：

AQ

QC

=

AG

CF

，即

y

15?y

=

8

CF

，
∴CF=

8(15?y)

y

．
∵BE∥AD∥CF，BD=CD，
∴EG=FG．
∴CF+BE=2GD，即

8(15?y)

y

+

8x

15?x

=8，
∴y=

75?5x

10?x

，