已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x).(1)
已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x).(1)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;(2)...
已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x).(1)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(3)=2,求使h(x)>0成立的x的集合.
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(1)由题意得1+x>0,即x>-1,∴函数f(x)的定义域为(-1,+∞),
1-x>0,即x<1,∴函数g(x)的定义域为(-∞,1),
∴函数h(x)的定义域为(-1,1).
∵对任意的x∈(-1,1),-x∈(-1,1),
h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=g(x)-f(x)=-h(x),
∴h(x)是奇函数. …(6分)
(2)由f(3)=2,得a=2.
此时h(x)=log2(1+x)-log2(1-x),
由h(x)>0即log2(1+x)-log2(1-x)>0,
∴log2(1+x)>log2(1-x).
由1+x>1-x>0,解得0<x<1.
故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}. …(12分)
1-x>0,即x<1,∴函数g(x)的定义域为(-∞,1),
∴函数h(x)的定义域为(-1,1).
∵对任意的x∈(-1,1),-x∈(-1,1),
h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=g(x)-f(x)=-h(x),
∴h(x)是奇函数. …(6分)
(2)由f(3)=2,得a=2.
此时h(x)=log2(1+x)-log2(1-x),
由h(x)>0即log2(1+x)-log2(1-x)>0,
∴log2(1+x)>log2(1-x).
由1+x>1-x>0,解得0<x<1.
故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}. …(12分)
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