Question

已知函数f（x）=2x2x+1，（1）用函数单调性定义证明：f（x）在（-∞，+∞）是增函数；（2）试求f（x）=2x

已知函数f（x）=2x2x+1，（1）用函数单调性定义证明：f（x）在（-∞，+∞）是增函数；（2）试求f（x）=2x2x+1在区间[1，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

（1）设x₁＜x₂，
则f(x1)?f(x2)＝

2x1

2x1+1

?

2x2

2x2+1

＝

2x1?2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）为R上的增函数．              
（2）由（1）可知f(x)＝

2x

2x+1

在[1，2]上为增函数，
则f（x）的最小值是f（1）=

2

2+1

＝

2

3

，
f（x）的最大值是f（2）=

22

22+1

＝

4

5

．