Question

如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．第一次

如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依次操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为______，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为______，此时AE与BF的数量关系是______；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．

Answer 1

（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形．
在Rt△ADE与Rt△CDF中，

AD＝CD DE＝DF

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴AE=CF．
设AE=CF=x，则BE=BF=4-x
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴EF=

2

BF=

2

（4-x）．
∴DE=DF=EF=

2

（4-x）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE²+AD²=DE²，即：x+4²=[

2

（4-x]²，
解得：x₁=8-4

3

，x₂=8+4

3

（舍去）
∴EF=

2

（4-x）=4

6

-4

2

．
DEF的形状为等边三角形，EF的长为4

6

-4

2

．

（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下：
依题意画出图形，如答图1所示：

由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH的形状为正方形．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4．
在△AEH与△BFE中，

∠1＝∠3 EH＝EF ∠2＝∠4

∴△AEH≌△BFE（ASA）
∴AE=BF．
②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，
∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4-x．
∴y=S_{正方形ABCD}-4S_△AEH=4×4-4×

1

2

x（4-x）=2x²-8x+16．
∴y=2x²-8x+16（0＜x＜4）
∵y=2x²-8x+16=2（x-2）²+8，
∴当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，
∴y的取值范围为：8≤y＜16．

（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4

2

-4．
如答图2所示，粗线部分是由线段EF经过7次操作所形成的正八边形．

设边长EF=FG=x，则BF=CG=

2

2

x，
BC=BF+FG+CG=

2

2

x+x+

2

2

x=4，解得：x=4

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