Question

已知抛物线y=a（x-m） 2 +n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D，若A、B、C

已知抛物线y=a（x-m） 2 +n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D，若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线。 （1）如图1，求抛物线y=（x-2） 2 +1的伴随直线的解析式；（2）如图2，若抛物线y=a（x-m） 2 +n（m＞0）的伴随直线是y=x-3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；（3）如图3，若抛物线y=a（x-m） 2 +n的伴随直线是y=-2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形。①用含b的代数式表示m、n的值；②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示），若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知得B（2，1），A（0，5）， 设所求直线的解析式为y=kx+b，则 ，解得 ， ∴所求直线的解析式为y=-2x+5； （2）如图1，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（0，-3），点C的坐标为（0，3），可得AC=6， ∵□ABCD的面积为12， ∴S △ABC =6，即S △ABC = AC·BE=6， ∴BE=2， ∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x-3上， ∴顶点B的坐标为B（2，-1）又抛物线经过点A（0，-3）， ∴a=- ， ∴y=- （x-2） 2 -1； （3）①如图2，作BE⊥x轴于点E， 由已知得：A的坐标为（0，b），C的坐标为（0，-b）， ∵顶点B（m，n）在直线y=-2x+b上， ∴n=-2m+b，即点B的坐标为（m，-2m+b）， 在矩形ABCD中，OC=OB，OC 2 =OB 2 ， 即b 2 =m 2 +（-2m+b） 2 ， ∴5m 2 -4mb=0， ∴m（5m-4b）=0， ∴m 1 =0（不合题意，舍去），m 2 = b， ∴n=-2m+b=-2× b+b=- b； ②存在，共四个点如下： P 1 （ b， b），P 2 （ b， b），P 3 （ b， b），P 4 （ b，- b）。

图2