Question

在直角三角形ABC中，∠C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AC于点E

在直角三角形ABC中，∠C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AC于点E，连接AD． （1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AE=2，DC= ，求圆弧的半径．

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Answer 1

（1）根据切线的性质可得OD⊥BC，即得∠ODB=∠C=90°，则可得OD∥AC，根据平行线的性质可得∠ODA=∠CAD，根据圆的基本性质可得∠ODA=∠OAD，问题得证；（2）2

试题分析：（1）根据切线的性质可得OD⊥BC，即得∠ODB=∠C=90°，则可得OD∥AC，根据平行线的性质可得∠ODA=∠CAD，根据圆的基本性质可得∠ODA=∠OAD，问题得证； （2）过O作OH⊥AC于H，根据垂径定理可得 ，由OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°可求得OH=DC= ，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得结果. （1）∵OA为半径的圆弧与BC相切于点D ∴OD⊥BC ∴∠ODB=∠C=90° ∴OD∥AC ∴∠ODA=∠CAD 又∵OA=OD ∴∠ODA=∠OAD ∴∠CAD=∠OAD ∴AD平分∠BAC； （2）过O作OH⊥AC于H ∴ ∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°， ∴OH=DC= ∴在Rt△ABC中，圆弧的半径OA= ． 点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.