证明二元函数f(x,y)=(x2+y2)sin1x2+y20(x,y)≠(0,0)(x,y)=(0,0)在点(0,0)处的偏导数存在但不

证明二元函数f(x,y)=(x2+y2)sin1x2+y20(x,y)≠(0,0)(x,y)=(0,0)在点(0,0)处的偏导数存在但不连续,并且在点(0,0)的任何领域... 证明二元函数f(x,y)=(x2+y2)sin1x2+y20(x,y)≠(0,0)(x,y)=(0,0)在点(0,0)处的偏导数存在但不连续,并且在点(0,0)的任何领域内无界,但是在点(0,0)处可微. 展开
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琪久远9470
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fx(0,0)=
lim
x→0
f(x,0)?f(0,0)
x
=
lim
x→0
x2sin
1
x2
x
lim
x→0
xsin
1
x2
=0

fy(0,0)=
lim
y→0
f(0,y)?f(0,0)
y
=
lim
y→0
y2sin
1
y2
y
=
lim
y→0
ysin
1
y2
=0

∴当(x,y)≠(0,0)时,
fx(x,y)=2xsin
1
x2+y2
?
2x
x2+y2
cos
1
x2+y2

fy(x,y)=2ysin
1
x2+y2
?
2y
x2+y2
cos
1
x2+y2

由于
lim
(x,y)→(0,0)
2x
x2+y2
cos
1
x2+y2
lim
(x,y)→(0,0)
2y
x2+y2
cos
1
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