已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起到如图所示PBD的
已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起到如图所示PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD．（1）...
已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起到如图所示PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD．（1）求证：CD⊥PB；（2）求二面角P-BC-D的大小（用反三角函数表示）；（3）求点D到平面PBC的距离．
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（1）证明：∵∠BAD=45°，AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=45°
∵AD∥BC，∠BCD=45°，∴BD⊥DC
∵平面PBD⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴CD⊥平面PBD，∵PB?平面PBD，∴CD⊥PB；
（2）解：过P作PE⊥BD于E，由平面PBD⊥平面BCD得，PE⊥平面BCD，
过E作EF⊥BC于F，连结PF，由三垂线定理可证PF⊥BC
∴∠PFE为二面角P-BC-D的平面角，
∵PB=PD=1．
∴PE=BE=
，EF=
BE＝
，在Rt△PEF中
∠PEF=90°，tanPFE＝
＝
，
∴二面角P-BC-D的大小为arctan
；
（3）解：设D到平面PBC的距离为h，
由PB=1求得BD=DC=
，BC=2，PC=
由PB⊥PD，PB⊥CD，∴PB⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，∴PB⊥PC
∵VC-PBD=VD-PBC
∴
×
×PB×PD×DC
=
×
×PB×PC×h，则可得：
h＝
∵AD∥BC，∠BCD=45°，∴BD⊥DC
∵平面PBD⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴CD⊥平面PBD，∵PB?平面PBD，∴CD⊥PB；
（2）解：过P作PE⊥BD于E，由平面PBD⊥平面BCD得，PE⊥平面BCD，
过E作EF⊥BC于F，连结PF，由三垂线定理可证PF⊥BC
∴∠PFE为二面角P-BC-D的平面角，
∵PB=PD=1．
∴PE=BE=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∠PEF=90°，tanPFE＝
| PE |
| EF |
| 2 |
∴二面角P-BC-D的大小为arctan
| 2 |
（3）解：设D到平面PBC的距离为h，
由PB=1求得BD=DC=
| 2 |
| 3 |
由PB⊥PD，PB⊥CD，∴PB⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，∴PB⊥PC
∵VC-PBD=VD-PBC
∴
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
h＝
