Question

已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x1

已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立．（1）判断函数f（x）=3x+1是否属于集合M？说明理由；（2）若g(x)＝a(x+1x)在（1，+∞）上属于M，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=3x-1?M，可举反例说明：
若x₁=1，x₂=2，则f（x₁）=4，f（x₂）=7，|f（x₁）-f（x₂）|=3≤1=|x₁-x₂|不成立．
（2）对任意两个自变量x₁，x₂∈（1，+∞），g(x)＝a(x?

1

x

)
因为|g（x₁）-g（x₂）|=|a(x1?

1

x1

)?a(x2?

1

x2

)|＝|a|?|(x1?x2)+(

x2?x1

x1x2

)|
=|a|?|x1?x2|?|1?

1

x1x2

| ≤|x1?x2|恒成立．
?|a|?|1?

1

x1x2

|≤1?|a|≤|

1

|1? 1 x1x2 |

|
又x₁＞1，x₂＞1?x₁x₂＞1?|1?

1

x1x2

| ∈（0，1）?|

1

|1? 1 x1x2 |

| ∈（1，+∞）
即|a|≤1
故a的取值范围是：[-1，1]