Question

着急！！函数f(x)在【0,+∞)上二阶可导,且满足f(0)<0,f′(0)>0,当x>0时,f″(x)>0,

证明，在（0，+∞）内。方程f(x)=0有且仅有一个实根
着急啊~拜托，拜托了

Answer 1

由f''(x)>0 f'(x)是增加函数。设f'(0)=M,由已知，M>0,对x>0,f'(x)>f'(0)=M>0,所以f(x)也是增加函数。且f(x)=f(0)+f'(a)x (中值定理，a为0与x之间某一正数)>f(0)+Mx, 所以当x趋向正无穷时 f(x)趋向正无穷。至少当x=k(K是一个充分大的正数）时f(K)>0.在区间[0,K]端点上，f(x)函数值异号，由f(x) 连续
在[0,k]上至少有一个根c，即f(c)=0. 再证只可能有一个实根，设还有一个根b，即f(b)=0.不妨设b>c,
由f(c)=f(b)=0,在区间[c,b]上对f(x)用罗尔定理，应至少有一个t在（c,b)内使f'(t)=0,但这是矛盾的，因为上面已经证明f'(x)>M>0对一切x>0成立