Question

选修4-5：不等式选讲 设函数f（x）=|x+1|+|x-4|-a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若 f(x)

选修4-5：不等式选讲 设函数f（x）=|x+1|+|x-4|-a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若 f(x)≥ 4 a +1 对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-4|-1≥|（x+1）-（x-4）|-1=5-1=4． 所以函数f（x）的最小值为4． （2） f(x)≥ 4 a +1 对任意的实数x恒成立?|x+1|+|x-4|-1≥a+ 4 a 对任意的实数x恒成立?a+ 4 a ≤4对任意实数x恒成立． 当a＜0时，上式显然成立； 当a＞0时，a+ 4 a ≥2 a? 4 a =4，当且仅当a= 4 a 即a=2时上式取等号，此时a+ 4 a ≤4成立． 综上，实数a的取值范围为（-∞，0）∪{2}．