Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的序号）．①若ab

设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的序号）．①若ab＞c 2 ，则C＜ π 3 ；②若a+b＞2c，则C＜ π 3 ；③若a 4 +b 4 =c 4 ，则C＜ π 2 ；④若（a+b）c＜2ab，则C＞ π 2 ；⑤若（a 2 +b 2 ）c 2 ＜2a 2 b 2 ，则C＞ π 3 ．

Answer 1

对于①，若ab＞c 2 ， 根据余弦定理，可得 cosC= a 2 + b 2 - c 2 2ab ＞ a 2 + b 2 -ab 2ab ≥ 1 2 ， 结合C为三角形的内角，可得C＜ π 3 ，故正确； 对于②，若a+b＞2c， 根据余弦定理，可得c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC， ∴4c 2 =4（a+b） 2 -8ab（1+cosC）＜（a+b） 2 ， 可得3（a+b） 2 ＜8ab（1+cosC）， 结合 2 ab ≤a+b ，得到12ab≤3（a+b） 2 ， ∴12ab＜8ab（1+cosC），解得cosC ＞ 1 2 ，结合C为三角形的内角，可得C＜ π 3 ，故正确； 对于③，若a 4 +b 4 =c 4 ，则（a 2 +b 2 ） 2 =c 4 +2a 2 +b 2 ＞c 4 ， ∴a 2 +b 2 ＞c 2 ，可得 cosC= a 2 + b 2 - c 2 2ab ＞0，得C＜ π 2 ，故正确； 对于④⑤，取a=b=2，c=1，可得（a+b）c＜2ab、（a 2 +b 2 ）c 2 ＜2a 2 b 2 成立， 但C为最小角，必定是锐角且小于 π 3 ，故C＞ π 2 与C＞ π 3 圴不正确，得④⑤都是错误的． 故答案为：①②③．