Question

已知函数f（x）=㏒ a x（a＞0且a≠1），若数列2，f（a 1 ），f（a 2 ），…，f（a n ），2n+4（n∈N * ）

已知函数f（x）=㏒ a x（a＞0且a≠1），若数列2，f（a 1 ），f（a 2 ），…，f（a n ），2n+4（n∈N * ）成等差数列（1）求数列{a n }的通项a n ；（2）令b n =a n f（a n ），当a＞1时，判断数列{b n }的单调性并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵数列2，f（a  1 ），f（a  2 ），…，f（a  n ），2n+4（n∈N * ）成等差数列 ∴2n+4=2+（n+1）d，∴d=2， ∴f（a n ）=2+2n=log a a n ， ∴a n =a 2n+2 （2）数列{b  n }单调递增 证明：∵b  n =a n f（a n ）， ∴b n =（2n+2）a 2n+2 ， 则b n+1 =（2n+4）a 2n+4 ， ∴b n+1 -b n =（2n+4）a 2n+4 -（2n+2）a 2n+2 =a 2n+2 [（2n+4）a 2 -（2n+2）] ∵a＞1 ∴a 2 ＞1 ∴（2n+4）a 2 -（2n+2）＞（2n+4）-（2n+2）=2＞0 ∴b n+1 -b n ＞0即数列{b  n }单调递增．