Question

设函数f（x）=ka x -a -x （a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3-2x

设函数f（x）=ka x -a -x （a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3-2x）＞0，求x的取值范围；（3）若 f(1)= 8 3 ，且函数g（x）=a 2x +a -2x -2mf（x），在上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

（1）∵f（x）为奇函数， ∴f（0）=0， ∴k-1=0， ∴k=1 经验证可知k=1时符合题意．…（4分） （2）因f（x）是奇函数， 故f（x+2）+f（3-2x）＞0可化为f（x+2）＞f（2x-3）．…（6分） ∵0＜a＜1， ∴f（x）在R上是单调减函数，…（8分） ∴x+2＜2x-3， ∴x＞5 ∴满足为f（x+2）+f（3-2x）＞0的x的取值范围为（5，+∞）…（10分） （3）∵f（1）= 8 3 ， ∴a- 1 a = 8 3 ，即3a 2 -8a-3=0， ∴a=3（或a= - 1 3 舍去）．…（12分） ∴g（x）=3 2x +3 -2x -2m（3 x -3 -x ）+2=（3 x -3 -x ）2-2m（3 x -3 -x ）+2 令t=3 x -3 -x ， ∵x≥1， ∴t≥f（1）= 8 3 ． ∴（3 x -3 -x ）2-2m（3 x -3 -x ）+2=（t-m） 2 +2-m 2 ． 当m≥ 8 3 时，2-m 2 =-2，m=2，2 ＜ 8 3 ，故m=2应舍去；…（14分） 当m＜ 8 3 时， ( 8 3 ) 2 -2m× 8 3 +2=-2，m= 25 12 ＜ 8 3 ． ∴ m= 25 12 ．…（16分）