Question

已知圆M的方程为（x-2） 2 +y 2 =1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A

已知圆M的方程为（x-2） 2 +y 2 =1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）求 PA ? PB 的最小值；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

（1）设P（m，2m），由题可知MP=2，M（2，0），所以（2m） 2 +（m-2） 2 =4，解之得 m=0，m= 4 5 ． 故所求点P的坐标为P（0，0）或（ 4 5 ， 8 5 ）．  …（4分） （2）设P（m，2m），则 PA ? PB =| PA | 2 cos∠PAB ． 又 | PA | 2 =P M 2 -1 ， cos∠PAB=1-2si n 2 ∠PAB 2 =1- 2 P M 2 ， ∴ PA ? PB =| PA | 2 cos∠PAB=(P M 2 -1)(1- 2 P M 2 )=P M 2 + 2 P M 2 -3 ．…（7分） 又 P M 2 =(m-2 ) 2 +(2m ) 2 =5 m 2 -4m+4∈[ 16 5 ，+∞) ， ∴ PA ? PB =| PA | 2 cos∠PAB=P M 2 + 2 P M 2 -3=(PM- 2 PM ) 2 -1∈[ 33 40 ，+∞) ， 故 PA ? PB 的最小值 33 40 ．                                  …（10分） （3）证明：设P（m，2m），MP的中点 Q( m 2 +1，m) ， 因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆， 故其方程为 (x- m 2 -1 ) 2 +(y-m ) 2 = m 2 +( m 2 -1 ) 2 ， 化简得x 2 +y 2 -2x+m（-x-2y+2）=0，…（13分） 故 x 2 + y 2 -2x=0 -x-2y+2=0 解得 x=2 y=0 或 x= 2 5 y= 4 5 . 所以经过A，P，M三点的圆必过定点（2，0）和 ( 2 5 ， 4 5 ) ．         …（16分）