已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（Ⅰ）当a＝?14时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（Ⅰ）当a＝?14时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅲ）...
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（Ⅰ）当a＝?14时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：(1+11×2)(1+12×3)?…?[1+1n(n+1)]＜e（n∈N*，e是自然对数的底数）．提示：[ln(x+1)]′＝1x+1．
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（Ⅰ）当a＝?
时，f(x)＝?
x2+ln(x+1)（x＞-1），f′(x)＝?
x+
＝?
（x＞-1），
由f'（x）＞0解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0解得x＞1．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）因当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，
即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，
设g（x）=ax2+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）max≤0即可．（5分）
由g′(x)＝2ax+
?1=
，
（ⅰ）当a=0时，g′(x)＝
，
当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．（6分）
（ⅱ）当a＞0时，由g′(x)＝
＝0，因x∈[0，+∞），所以x＝
?1，
①若
?1＜0，即a＞
时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；
②若
?1≥0，即0＜a≤
时，函数g（x）在(0，
?1)上单调递减，在区间(
?1，+∞)上单调递增，
同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．（8分）
（ⅲ）当a＜0时，由g′(x)＝
，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．（10分）
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立（11分）
则对任意的n∈N*，有ln[1+
]≤
＝
?
∵ln{(1+
)(1+
)?…?[1+
]}＝ln(1+
)+ln(1+
)+…+ln[1+
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x+1 |
| (x+2)(x?1) |
| 2(x+1) |
由f'（x）＞0解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0解得x＞1．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）因当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，
即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，
设g（x）=ax2+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）max≤0即可．（5分）
由g′(x)＝2ax+
| 1 |
| x+1 |
| x[2ax+(2a?1)] |
| x+1 |
（ⅰ）当a=0时，g′(x)＝
| ?x |
| x+1 |
当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．（6分）
（ⅱ）当a＞0时，由g′(x)＝
| x[2ax+(2a?1)] |
| x+1 |
| 1 |
| 2a |
①若
| 1 |
| 2a |
| 1 |
| 2 |
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；
②若
| 1 |
| 2a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2a |
| 1 |
| 2a |
同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．（8分）
（ⅲ）当a＜0时，由g′(x)＝
| x[2ax+(2a?1)] |
| x+1 |
∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．（10分）
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立（11分）
则对任意的n∈N*，有ln[1+
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∵ln{(1+
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
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