Question

已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1

已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围；（3）若对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，定义域为（0，+∞）f′(x)＝2x?3+

1

x

＝

(2x?1)(x?1)

x

…（2分）
令f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

或x＞1；令f′（x）＜0得

1

2

＜x＜1；
所以y＝f(x)的增区间为(0，

1

2

)和(1，+∞)，减区间为(

1

2

，1)．…（4分）
（2）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．…（5分）
当a＞0时，f′(x)＝2ax?(a+2)+

1

x

＝

2ax2?(a+2)x?1

x

(x＞0)
令f'（x）=0，即f′(x)＝

2ax2?(a+2)x+1

x

＝

(2x?1)(ax?1)

x

＝0，
所以x＝

1

2

或x＝

1

a

…（6分）
①当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2，符合题意；
②当1＜

1

a

＜e时，即

1

e

＜a＜1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)＝?2，不合题意；
③当

1

a

≥e时，即0＜a≤

1

e

时，f（x）在[1，e]上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合题意．
综上可知，a的取值范围为[1，+∞）．…（8分）
（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．…（9分）
而g′(x)＝2ax?a+

1

x

＝

2ax2?ax+1

x

当a=0时，g′(x)＝

1

x

＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增； …（10分）
当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
则需要a＞0，…（11分）
对于函数y=2ax²-ax+1，过定点（0，1），对称轴x＝

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．综上0≤a≤8．…（12分）