Question

已知函数f（x）=（1+x）2-2aln（1+x）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求

已知函数f（x）=（1+x）2-2aln（1+x）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求函数y=f（x）图象上任意一点处切线斜率k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数的定义域为（-1，+∞）．
f′（x）=2（x+1）-

2a

x+1

=

2[(x+1)2?a]

x+1

，
当a≤0时，f′（x）≥0在（-1，+∞）上恒成立，于是f（x）在定义域内单调递增．
当a＞0时，f′（x）=0得x₁=-1+

a

，x₂=-1-

a

＜-1（舍），
当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下

x	（-1，-1+ a ）	-1+ a	（-1+ a ，+∞）
f′（x）	-		+
f（x）	递减	极小值	递增

所以f（x）的单调递增区间是 （-1+

a

，+∞），单调递减区间是（-1，-1+

a

）．
综上，当a≤0时，f（x）单调递增区间是（-1，+∞），
当a＞0时，f（x）的单调递增区间是 （-1+

a

，+∞），单调递减区间是（-1，-1+

a

）．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）（，令h（x）=f′（x）=2（1+x）-

2

1+x

（x≠-1），则h′（x）=2+

2

(1+x)2

＞0，故h（x）为区间[0，1）上增函数，
所以h（x）=f′（x）∈[0，3]，根据导数的几何意义可知k∈[0，3]．